師走。
語源については、はっきりコレといったものは分かっていないようです。
ただ、色んな説があるので、調べた一部を紹介したいと思います。

師＝和尚様（お坊さん）
師走の師は、僧侶である和尚様、つまり、お坊さんという説です。
平安時代に書かれた辞書の中に「しはす」という言葉で表されていたそうです。
12月はお寺は忙しく、お師匠様である僧侶が、お経を唱えるために、東西南北を馳せ参じる（駆けまわる）様子から、師馳す（しはす）と呼ばれたというものです。
　これが、時代とともに、師が馳せるではなく、師が走るとなって、現在の師走（しわす）に変わっていったのだろうというのです。
　師といっても、学校の先生（教師）や、お医者さん（医師）という意味ではありません。

12月ー
　　学校の先生は、期末テストに受験の手配、更には忘年会で大忙し・・・
　　お医者さんは、冬の寒さや、忘年会など体調を崩した人達で大忙し・・・
　なんていうトンデモ説も聞こえてきます（笑）